第1章 引言 《传感器原理及应用》 教材： 《传感器及其应用（第二版）》 栾桂冬等 西安电子科技大学出版社 课件下载： /people/lusiliang/teaching.html 第1章 引言 第1章 引言 1.1 传感器的发展和作用 1.2 什么是传感器 1.3 传感器的分类 1.4 传感器的性能和评价 第1章 引言 1.1 传感器的发展和作用 人类为了从外界获取信息, 必须借助于感觉器官。 人 类依靠这些器官接受来自外界的刺激,再通过大脑分析判 断, 发出命令而动作。 随着科学技术的发展和人类社会的 进步, 人类为了进一步认识自然和改造自然, 只靠这些感觉 器官就显得很不够了。于是, 一系列代替、 补充、 延伸人 的感觉器官功能的各种手段就应运而生, 从而出现了各种 用途的传感器。 传感器的历史可以追溯到远古时代, 公元前1000年左 右, 中国的指南针、 记里鼓车已开始使用。 第1章 引言 埃及王朝时代开始使用的天平, 一直延用到现在。 利用 液体膨胀进行温度测量在16世纪前后就已出现。 19 世纪建 立了电磁学的基础, 当时建立的物理法则直到现在作为各种 传感器的工作原理仍在应用着。 以电量作为输出的传感器， 其发展历史最短, 但是随着 真空管和半导体等有源元件的可靠性的提高,这种传感器得 到飞速发展。目前只要提到传感器, 一般是指具有电输出的 装置。 由于集成电路技术和半导体应用技术的发展, 研究开 发了性能更好的传感器。 随着电子设备水平不断提高以及 功能不断加强, 传感器也越来越显得重要。 世界各国都将传 感器技术列为重点发展的高新技术, 传感器技术已成为高新 技术竞争的核心技术之一, 并且发展十分迅速。 第1章 引言 传感器技术的发展十分迅速的原因有如下几点: (1) 电子工业和信息技术促进了传感器产业的相应发 展。 (2) 政府对传感器产业发展提供资助并大力扶植。 (3) 国防、 空间技术和民用产品有广大的传感器市场。 (4) 在许多高新技术领域可获得用于开发传感器的理 论和工艺。 从市场来看, 力、 压力、 加速度、 物位、 温度、 湿 度、 水分等传感器将保持较大的需求量。 传感器的市场 结构如表1.1所示。 第1章 引言 表 1.1传感器市场结构 第1章 引言 近年来, 由于微电子技术、 微机械加工技术、 纳米技 术的迅速发展, 传感器领域的主要技术也将在现有基础上 予以延伸和提高: （1）微机械加工技术（MEMT ）和纳米技术将得到高 速发展。 采用MEMT制作的传感器和微系统, 具有体积微 小、 低成本、 高可靠性等独特的优点。 （2 ）新型敏感材料将加速开发, 微电子、 光电子、 生 物化学、 信息处理等各学科的互相交叉、 渗透和综合利 用, 将会研制出一批新颖、 先进的传感器。 （3 ）敏感元件与传感器的应用领域将得到新的开拓, 二次传感器和传感器系统的应用将大幅度增长。 第1章 引言 展望未来, 传感器将向着小型化、 集成化、 多功能化、 智能化和系统化的方向发展, 由微传感器、 微执行器及信 号和数据处理器总装集成的系统越来越引起人们的广泛关 注。 传感器市场将会迅速发展, 并会加速新一代传感器的 开发和产业化。 第1章 引言 1.2 什么是传感器 传感器是与人的感觉器官相对应的元件。 国家标准GB 7665-87对传感器下的定义是: “能够感受规定的被测量并按照一定的规律转换成可用 输出信号的器件或装置, 通常由敏感元件和转换元件组 成”。敏感元件, 是指传感器中能直接感受或响应被测量 （输入量）的部分; 转换元件, 是指传感器中能将敏感元件 感受的或响应的被探测量转换成适于传输和 （或）测量的 电信号的部分。 第1章 引言 图1.1为传感器组成方块图， 此图也说明了传感器的 基本组成和工作原理。 测量电路 被测量 电量 敏感元件 转换元件 信号调节转换电路 输入量 输出量 电 源 图 1.1传感器组成方块图 第1章 引言 1.3 传感器的分类 传感器种类繁多, 功能各异。 由于同一被测量可用不同 转换原理实现探测, 利用同一种物理法则、 化学反应或生 物效应可设计制作出检测不同被测量的传感器, 而功能大同 小异的同一类传感器可用于不同的技术领域, 故传感器有不 同的分类法。 (1) 根据传感器感知外界信息所依据的基本效应, 可以 将传感器分成三大类: 基于物理效应如光、 电、声、 磁、 热等效应进行工作的物理传感器; 基于化学反应如化学吸附、 选择性化学反应等进行工作的化学传感器; 基于酶、抗体、 激素等分子识别功能的生物传感器。 第1章 引言 (2) 按工作原理分类, 可分为应变式、 电容式、 电感式、 电磁式、 压电式、 热电式等传感器。 (3) 根据传感器使用的敏感材料分类, 可分为半导体传感 器、 光纤传感器、 陶瓷传感器、金属传感器、高分子材料 传感器、 复合材料传感器等等。 (4) 按照被测量分类, 可分为力学量传感器、热量传感器、 磁传感器、光传感器、放射线传感器、气体成分传感器、 液体成分传感器、离子传感器和线) 按能量关系分类, 可分为能量控制型和能量转换 型两大类。所谓能量控制型是指其变换的能量是由外 部电源供给的, 而外界的变化 （即传感器输入量的变化） 只起到控制的作用。 如用电桥测量电阻温度变化时, 温度的变化改变了 热敏电阻的阻值, 热敏电阻阻值的变化使电桥的输出发 生变化 （注意电桥的输出是由电源供给的）。 第1章 引言 (6) 按传感器是利用场的定律还是利用物质的定律, 可 分为结构型传感器和物性型传感器。二者组合兼有两者特 征的传感器称为复合型传感器。场的定律是关于物质作用 的定律, 例如动力场的运动定律、电磁场的感应定律、 光 的干涉现象等。 利用场的定律做成的传感器, 如电动式传 感器、电容式传感器、 激光检测器等。物质的定律是指物 质本身内在性质的规律。 例如弹性体遵从的虎克定律、晶 体的压电性、半导体材料的压阻、 热阻、光阻、 湿阻、 霍尔效应等。利用物质的定律做成的传感器, 如压电式传 感器、 热敏电阻、光敏电阻、光电管等。 第1章 引言 (7) 按依靠还是不依靠外加能源工作, 可分为有源传感 器和无源传感器。有源传感器敏感元件工作需要外加电源, 无源传感器工作不需外加电源。 (8) 按输出量是模拟量还是数字量, 可分为模拟量传感 器和数字量传感器。 第1章 引言 表1.2列出了传感器的分类。尽管此处列出的传感 器分类有较大的概括性, 但由于传感器的分类不统一, 因而这种分类很难完备, 例如有的学者将传感器作了如 下分类: (1)压力; (2 ）力/荷重; (3 ）位移 （厚度）; (4 ） 力矩; (5 ）角度; (6 ）角速度 （转速）; (7 ）速度; (8）加 速度; (9 ）角加速度; (10）倾斜角; (11）编码器; (12） 振动; (13）气体/烟雾; (14）温度; (15）热能; (16）湿度; (17）水份; (18）露点; (19）液位; (20 ）料位; (21 ）流量; (22 ）流速 第1章 引言 (23 ）风速; (24) 电流; (25）电压; (26）电功率; (27）电频 率; (28）接近开关; (29）磁性开关; (30）光电开关; (31） pH值; (32）电阻率; (33）电导率; (34）水溶氧; (35）生 物; (36）红外线）超声波; (42）声音/ 噪声; (43）触觉; (44）图 像/颜色; (45）密度/粘度; (46）混浊度。 第1章 引言 表1.2传感器的分类 第1章 引言 第1章 引言 1.4 传感器的性能和评价 1.4.1 1. 灵敏度是描述传感器的输出量 （一般为电学量）对输 入量 （一般为非电学量）敏感程度的特性参数。 其定义 为: 传感器输出量的变化值与相应的被测量 （输入量）的 变化值之比, 输出量的变化值 y k( x)   输入量的变化值 x 第1章 引言 2. 理想的传感器输出与输入呈线性关系。 然而, 实际的 传感器即使在量程范围内, 输出与输入的线性关系严格来 说也是不成立的, 总存在一定的非线性。 线性度是评价非 线性程度的 参数。其定义为: 传感器的输出—输入校准曲线与理论 拟合直线之间的最大偏差与传感器满量程输出之比, 称为 该传感器的 “非线性误差”或称 “线性度”, 也称 “非线 性度”。通常用相对误差表示其大小:  e   max 100% t Y FS 第1章 引言 Y 校准曲线 拟合直线 Y max  max Y FS (X ,Y ) 0 0 O X X max 图 1.2 非线章 引言 式中, e 为非线性误差（线性度）, Δ 为校准曲线与理 f max 想拟合直线间的最大偏差, YFS为传感器满量程输出平均值, 如图 1.2 所示。 理论线性度: 拟合直线为理论直线% 作为直 线章 引言 端基线性度: 以校准曲线的零点输出和满量程输出值 连成的直线为拟合直线。 独立线性度: 作两条与端基直线平行的直线, 使之恰 好包围所有的标定点, 以与二直线等距离的直线作为拟合 直线。 最小二乘法线性度: 以最小二乘法拟合的直线. 灵敏度界限 （阈值） 输入改变Δx时, 输出变化Δy, Δx变小, Δy也变小。但 是一般来说, Δx小到某种程度, 输出就不再变化了, 这时 的Δx 叫做灵敏度界限。 存在灵敏度界限的原因有两个。一个是输入的变化 量通过传感器内部被吸收, 因而反映不到输出端上去。 典型的例子是螺丝或齿轮的松动。 第1章 引言 螺丝和螺帽, 齿条和齿轮之间多少都有空隙, 如果Δx相 当于这个空隙的话, 那么Δx是无法传递出去的。又例如, 装 有轴承的旋转轴, 如果不加上能克服轴与轴之间摩擦的力矩 的话, 轴是不会旋转的。 第二个原因是传感器输出存在噪声。如果传感器的输 出值比噪声电平小, 就无法把有用信号和噪声分开。如果不 加上最起码的输入值 （这个输入值所产生的输出值与噪音 的电平大小相当）是得不到有用的输出值的, 该输入值即灵 敏度界限。 灵敏度界限也叫灵敏阈, 门槛灵敏度, 或阈值。 第1章 引言 4. 迟滞差 输入逐渐增加到某一值, 与输入逐渐减小到同一输 入值时的输出值不相等, 叫迟滞现象。迟滞差表示这种 不相等的程度。 其值以满量程的输出YFS 的百分数表示。  e max 100% t Y FS  e   max 100% t Y FS 第1章 引言 式中, Δmax为输出值在正反行程的最大差值。 如图 1.3 所示, Δ =Y -Y 。 max 2 1 图 1.3 是这种现象稍微夸张了的曲线。 一般来说输入 增加到某值时的输出要比输入下降到该值时的输出值小, 正 如图 1.3 所示。如存在迟滞差, 则输入和输出的关系就不是 一一对应了, 因此必须尽量减少这个差值。 第1章 引言 Y Y FS Y 2 Y 1 O X 图 1.3 迟滞曲线章 引言 各种材料的物理性质是产生迟滞现象的原因。 如把应 力加于某弹性材料时, 弹性材料产生变形, 应力虽然取消了 但材料不能完全恢复原状。又如, 铁磁体、铁电体在外加磁 场、电场作用下均有这种现象。迟滞也反映了传感器机械 部分不可避免的缺陷, 如轴承摩擦、 间隙、螺丝松动等。 各种各样的原因混合在一起导致了迟滞现象的发生。 第1章 引言 5. 稳定性 稳定性表示传感器在一个较长的时间内保持其性能 参数的能力。 理想的情况是, 不管什么时候传感器的灵 敏度等特性参数不随时间变化。但实际上, 随着时间的 推移, 大多数传感器的特性会改变。这是因为传感元件 或构成传感器的部件的特性随时间发生变化, 产生一种 经时变化的现象。 第1章 引言 1.4.2 传感器的动态特性 大多数情况下传感器的输入信号是随时间变化的, 这 时要求传感器时刻精确地跟踪输入信号, 按照输入信号的 变化规律输出信号。当传感器输入信号的变化缓慢时, 是 容易跟踪的, 但随着输入信号的变化加快, 传感器随动跟踪 性能会逐渐下降。 输入信号变化时, 引起输出信号也随时 间变化, 这个过程叫做响应。动态特性就是指传感器对于 随时间变化的输入量的响应特性。响应特性即动态特性, 是传感器的重要特性之一。 第1章 引言 1. 1) 假设传感器在输入输出存在线性关系 （即传感器是 线性的, 特性不随时间变化）的范围内使用, 则它们之 间的关系可用高阶常系数线性微分方程表示: n n1 d y d y dy a a ... a a y n dtn n1 dtn1 1 dt 0 d m x d m1x dx  b b  b b x m dtm m1 dtm1 1 dt 0 第1章 引言 式中，y为输出量，x为输入量，a ,b 为常数。对上式进 i i 行拉普拉斯变换，由 d n y  n n1 n2 d y d n1y L  n  s Y (s ) s y (0) s (0)   n1 (0) dt  dt dt   d y d x 并设t=0时，  , (i=0,1,…)全部为0， 得到 d t d  t Y ( s) b sm  b sm1   b s  b G(s) m m1 1 0 X (s ) a s n a s n1  a s a n n1 1 0 第1章 引言 式中, X(s)是输入的拉氏变换, Y(s)是输出的拉氏变换, G(s)称为拉氏形式的传递函数, 或简称传递函数。 即输出的 拉氏变换等于输入的拉氏变换乘以传递函数。 传递函数在数学上的定义是: 初始条件为零时, 输出量 （响应函数）的拉氏变换与输入量 （激励函数）的拉氏变 换之比。 传递函数表示系统本身的传输、 转换特性, 与激励及系 统的初始状态无关。 同一传递函数可能表征着两个完全不 同的物理 （或其他）系统, 但说明它们有相似的传递特性。 第1章 引言 2) 两个各有G (s)和G (s)传递函数的系统串联后, 如果 1 2 它们的阻抗匹配合适, 相互之间不影响彼此的工作状态, 如图1.4(a)所示, 则其传递函数为 Y (s) Z (s) Y (s) G(s)    G (s) G (s) 1 2 X (s) X (s) Z (s) 第1章 引言 G(s) Y (s) 1 X (s) Z(s) Y(s) X (s) G (s) Y(s) 1 G (s) G (s) 1 2 Y (s) 2 G (s) 2 (a) (b) 图1.4 (a) 串联；(b) 并联 第1章 引言 对于由n个系统串联组成的新系统, 则其传递函数为 n G(s)  G (s) i i1 如果两个系统并联时, 如图1.4(b)所示, 则其传递函数为 Y (s) Y (s) Y (s) Y (s) Y (s) G(s) 1 2 1  2 G (s)  G (s) 1 2 X (s) X (s) X (s) X (s) 对于由n个系统并联组成的新系统, 则其传递函数为 n G(s) G (s) i i 1 第1章 引言 当传递函数中, 只有a 与b 不为零 0 0 a0 y= b0 x 即 b 0 x  kx a 0 称为零阶系统 （传感器）。这种传感器输出能精确地跟 踪输入, 电位器式传感器就是一种零阶系统。 除系数a , a , b 外, 其他系数均为零的系统称为一阶系统。 1 0 0 由弹簧和阻尼组成的机械系统就是典型的一阶传感器。RC 回路、液体温度计等也属于一阶系统。 第1章 引言 4) 传感器一般可以近似为集总参数的、 线性的、 特性 不随时间变化的系统。 其一般形式的传递函数如式(1.1) 所示。为了说明问题方便并根据大多数传感器的情况, 可 假设 b = b =…= b =0 m m-1 1 则(1.1)式可简化为 Y (s) b G(s)   0 X (s) a sn a sn1 ... a s a n n1 1 0 其中分母是s的实系数多项式。方程式 n n-1 0 a s + a s +…+ a s =0 n n-1 0 第1章 引言 r 1 (nr ) / 2 1 G(s)  A( )  ( 2 2 ) i1 s  p j1 s 2 s  i j nj nj 上式中, 每一个因子式可以看成一个子系统的传递函数。 1 其中A是零阶系统的传递函数; 是一阶系统传递函 s  pi 1 数; 而 s2 2 w s  w2 则是二阶系统的传递函数。 j nj nj 由此可见, 一个复杂的高阶系统总是可以看成是由若干个零阶、 一阶和二阶系统串联而成的。 另一方面, 如果将上式的右边作部分分式展开, 则将得到 另一种等价的形式: r q (nr ) / 2 a s  G(s)  i   2 j j 2 i 1 s  p j 1 s 2 s  i j nj nj 第1章 引言 上式表示一个高阶系统, 也可以看成是由若干个一阶和 二阶系统并联而成的。 综上所述可知, 一个高阶系统的传感器总可以看成是由 若干个零阶、 一阶和二阶系统组合而成的。一阶系统和二 阶系统的响应是最基本的响应, 所以下面着重讨论一阶和二 阶系统的动态特性。 5 ） （1） 传递函数的功用之一是, 在方块图中用作表示系 统的图示符号, 如图1.5所示。 第1章 引言 m m － 1 X (s) b s ＋b s ＋ …＋b s ＋b Y(s) m m － 1 1 0 x (t) n n － 1 y (t) a s ＋a s ＋ …＋a s ＋a n n － 1 1 0 图 1.5 系统的图示符号 第1章 引言 （2 ） 另一方面, 当组成系统的各个元件或环节的传递函 数已知时, 可以用传递函数来确定该系统的总特性, 可用单 个环节的传递函数的乘积表示系统的传递函数, 如图1.6 所 示。 （3 ） 对于复杂系统的求解, 我们可以将其化成简单 系统的组合, 其解则为简单系统解的组合。 2. 一阶 （惯性） 一阶系统的传递函数为 b 0 Y (s) b0 a0 k  G(s)    X (s) a s a a1 s 1 1 0 s 1 a 0 第1章 引言 K 被测量 K 电量 电量 3 记录笔运动 1 K s2 2s s＋ 1 2 2 ＋ ＋ 1     传感器 放大器 记录器 K K K 被测量 1 2 3 记录笔运动 s2 2s (s＋ 1) 2 ＋ ＋ 1     图 1.6 系统的传递函数 第1章 引言 进一步写为  / s G(s) s 1/ 1） 设输入信号为δ函数, 即 ∞, t=0 δ(t)= 0, t≠0   (t)dt 1 （为单位脉冲函数） 其输出称为冲激响应。 因为 L ｛δ(t) ｝= 1 第1章 引言 k / Y(s)=G(s)·X(s)=G(s)= s  1/ 求反变换得 1 k  t y(t)= e   其相应的曲线所示。 由图可知: 在冲激信号出现的瞬间 （即t ＝0 ）响应函数 也突然跃升, 其幅度与k成正比, 而与时间常数τ=a /a 成反比; 1 0 在t0时, 作指数衰减, τ越小衰减越快, 响应的波形也越接近 脉冲信号。 第1章 引言 1.0 0.8 )  t  0.6 ( / y k 0.4 0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 t  图 1.7 一阶系统的冲激响应曲线   u(t)  1, t  0   其输出信号称为阶跃响应。 因为 1 L {u (t )} s Y (s)  G(s) X (s) k 1    (s 1/)s 由拉氏变换得 1  t y (t ) k (1e  ) 第1章 引言 其响应曲线 ） 一定振幅的周期信号输入传感器时, 如果这个信号振 幅是在传感器的线性范围之内, 那么传感器的输出可以通 过传递函数求出。由于周期信号可用傅里叶级数表示, 因 此可以把输入信号看成是正弦或余弦函数。sinωt和cosωt 的拉氏变换分别为 第1章 引言 1.0 0.8 ) 0.632 t ( k y 0.6 0.4 0.2 0 1 2 3 4 5 t  图 1.8一阶系统的阶跃响应曲线 这两个变换乘以传递函数G(s), 然后求 s  w s  w 其逆变换, 就可以得到系统响应y(t) 。 y(t)包括瞬态响应成分 和稳态响应成分。 瞬态响应随时间的推移会逐渐消失直到 稳定, 因此瞬态响应可忽略不计。 将各频率不同而幅度相等的正弦信号输入传感器, 其输 出信号 （也是正弦）的幅度及相位与频率之间的关系, 就称 为频率响应特性。频率响应特性可由频率响应函数表示, 由 。 设输入信号为 第1章 引言 x(t)=sinωt w L ｛x(t) ｝= 2 2 s  k 1 Y ( s)  2 2  (s 1/)(s w ) 求反变换得 1 2 kw 1  t 1 (k/) Y (t)   e   sin(t )  (1/)2 2  (1/)2 2 y(t)包括瞬态响应成分和稳态响应成分。上式中第一项瞬 态响应随时间的推移会逐渐消失, 因此瞬态响应就可以忽略不 计。所以稳态响应 第1章 引言 1 y (t ) k sin(t ) 2 2 1  表示为 y(t)=H(ω)sin(ωt+φ) 其中幅－频特性 k H(ω) 2 2 1  相－频特性 φ(ω) -arctan(ωτ) 第1章 引言 将H(ω)和φ(ω)绘成曲线所示。 图中纵坐标增 益采用分贝值, 横坐标ω也是对数坐标, 但直接标注ω值。 这种图又称为伯德（Bode ）图。 由图可知, 一阶系统只有在τ很小时才近似于零阶系统 特性（即H(ω)=k, φ(ω)=0 ）。 当τ ＝１时, 传感器灵敏度下 降了3dB （即H(ω)=0.707k ）。如果取灵敏度下降到 3 dB 时的频率为工作频带的上限, 则一阶系统的上截止频H=1/τ, 所以时间常数τ越小, 则工作频带越宽。 第1章 引言 B － d 0 2 / 0 d B )  /  k 十 ( － 10 倍 H g 频 l － 20 0 2 0° ° / )  － 45° (  － 90° 1 1 10 10    图 1.9 一阶系统的伯德 （Bode ）图 第1章 引言 3. 二阶 （振荡）系统的动态响应 弹簧、 质量和阻尼振动系统 （如图1.10 所示）及RLC 串 联电路是典型的二阶系统, 其微分方程如下: d 2 y d y m 2 c ky  F dt dt 2 d q d q 1 L 2  R  q  e dt dt C 二阶系统的传递函数为 b k2 G(s)  0  n a s2 a s a s2 2 s 2 2 1 0 n n 第1章 引言 c F m k 图 1.10 二阶系统示意图 第1章 引言 1） 由 Y ( s) G( s) X ( s) G( s) k2 k2 n n 2 2 2 2 2 s 2 s  (s  )  (1  ) n n n n 当ξ1 （欠阻尼）时, Y (t) 1  t 2  e n sin( 1  )t k 2 1 2 n n 当ξ=1 （临界阻尼）时 y (t )  t  te n  k n n 第1章 引言 当ξ1 （过阻尼）时 2  k 2  k Y (t) 1 (   1) n (   1) n [e e ]  k 2 n 2  1 相应的曲线 [(s  ) w (1 )]s n n 第1章 引言 0.8 0.6 t n    ) 0.4 t ( y 0.2 0 2 4 8 10  t 6 n － 0.2 － 0.4 － 0.6 图 1.11 二阶系统的冲激响应曲线 e n sin( 1  t  )  2 n   1    1  2   1   arctan     y (t )    t 1 (1 t )e n  1 k  n 1  t 2  1 e n sinh(  1 t  )  2 n    1    1   2  1   arctan h       第1章 引言 2.0 1.8 0 ＝ 1.6  0.2 k 1.4 / ) t 1.2 ( 0.6 y 1.0 1.0 0.8 1.5 0.6 0.4 0.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10  t n 图1.12 二阶系统的阶跃响应曲线给出了各种情况下的阶跃响应曲线。由图可知, 固有频率ω 越高则响应曲线上升越快, 而阻尼比ξ越大, 则 n 过冲现象减弱, 当ξ≥ 1 则完全没有过冲, 也不存在振荡。如 果在稳态响应值 （y(t)/k= 1）上下取±10% 的误差带, 而定 义响应曲线进入这个误差带 （再不越出）的时间为建立时 间, 那么当ξ 0.6 时建立时间最短, 约为2.4/ω , 若误差带取 n ±5%, 则ξ 0.7～0.8 最好。 第1章 引言 3 ） 若一个起始静止的系统, 其输入为单位幅度的正弦信号, 则其 2 k  Y (s)  n 2 2 2 2 2 [(s  ]  (1  )] s  n n 得 k2 y (t ) n sin(t  ) 1 2 2 2 2 2 2 (  ) 4   n n k n  t 2  e n sin[ (1 )t  ] n 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) (  ) 4   n n 第1章 引言 2n 1 arctan( 2 2 )   n 2 2 2 1  2 arctan( 2 n 2 2 )  2  n n 随着时间的推移, 第二项将逐渐消失, 直到稳定, 稳态 响应的幅－频特性和相－频特性分别为 2 y(t)  n  k 2 2 2 2 2 2 (  ) 4 n n

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